cp pp porównanie

Większość osób mających do czynienia ze statystycznym sterowaniem procesami (SPC) wie doskonale, że w procesach produkcyjnych można a wręcz powinno się wyznaczać różne pary współczynnikó. Najczęściej spotykane to: Cm i Cmk, Cp i Cpk oraz Pp i Ppk. 

Znaczna część z tej grupy nie ma również wątpliwości, że pierwsze dwa współczynniki to tzw. tymczasowa zdolność maszyny, którą zwykle wyznacza się dla nowego lub naprawionego urządzenia produkcyjnego, jeszcze przed rozpoczęciem preserii. Warto tu też wspomnieć, że współczynniki Cm i Cmk występują przede wszystkim w wymaganiach rynku niemieckiego (VDA), natomiast nie zostały opisane w podręczniku AIAG SPC [1]. Dlatego też nie będziemy się nimi zajmować w tym artykule, skupiając uwagę na współczynnikach Pp/Ppk oraz Cp/Cpk.

Wiedza na temat współczynników Pp/Ppk często ogranicza się do stwierdzenia, że wyznacza się je w fazie produkcji przedseryjnej oraz że w produkcji seryjnej są one zastępowane przez współczynniki Cp i Cpk. Ostatnie zdanie jednak nie do końca jest prawdą, co postaramy się wyjaśnić w tym artykule. Dodam też, że przedstawione rozważania odnoszą się do koncepcji opisanych w podręczniku AIAG SPC, ponieważ w podejściu "niemieckim" występują dosyć istotne różnice interpretacyjne.

W niniejszym artykule pomijam wyjaśnienia dotyczące samego sposobu obliczania i interpretacji tych współczynników. Temat ten omówiłem dosyć dokładnie w artykule Interpretacja współczynników zdolności procesu Cp i Cpk. Jeżeli więc masz wątpliwości, co do samego sposobu ich wyznaczania, zapoznaj się wcześniej ze wspomnianą publikacją. Dla potrzeb wywodu ograniczę się jedynie do przywołania wzorów na cztery współczynniki, będące tematem artykułu:

Wzory Cp, Cpk oraz Pp, Ppk

TABELA 1: Wzory do obliczania współczynników zdolności.

Jak widać, wzory te są prawie identyczne. Różnica pojawia się jedynie przy indeksie umieszczonym obok symbolu „sigma”. Rolą tego indeksu jest wskazanie, w jaki sposób będzie wyznaczone odchylenie standardowe użyte we wzorze. W pierwszej kolejności przyjrzymy się wyznaczaniu sigmy dla współczynników Cp i Cpk.

 

Wyznaczanie odchylenia standardowego ze średniego rozstępu

We wzorze na Cp i Cpk przy wartości sigma widoczny jest indeks R/d2. Oznacza on, że odchylenie standardowe zostało wyznaczone nie z podstawowego wzoru (o którym za chwila), lecz z wzoru uproszczonego:

Wartość RBAR (czyli R z poziomą kreską u góry) wyznaczono wyliczając średnią z podgrup, które pobierano z procesu (czym są podgrupy, wyjaśniono w artykule Interpretacja współczynników zdolności procesu Cp i Cpk). Mówimy więc, że RBAR to średni rozstęp z podgrup. Rozstęp, podobnie jak odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu. Wartości te ze względu na odmienne podejście do ich wyznaczania są różne. Można jednak, posługując się odpowiednim współczynnikiem, przybliżyć wartość odchylenia standardowego na podstawie znanego rozstępu. I do tego celu w powyższym wzorze służy właśnie dzielnik d2. Jego wartość wynika z właściwości rozkładu normalnego (to istotna uwaga: zakładamy normalność badanego rozkładu) i jest uzależniona od liczby pomiarów w podgrupie. Wartości współczynnika d2 dla różnej wielkości podgrup można znaleźć między innymi w podręczniku SPC [1]. Poniższa tabela przedstawia niektóre z nich:

Wielkość podgrupy  d2 
2 1,128
3 1,693
4 2,059
5 2,326
6 2,534

TABELA 2: Wartość współczynnika d2 zależy od wielkości podgrup.

 

Wyznaczoną w ten sposób sigmę podstawiamy do wzorów na Cp i Cpk, w liczniku podajemy szerokość pola tolerancji i mamy gotowy wynik. W tym momencie dociekliwy czytelnik powinien zadać sobie pytanie: czy sigma wyznaczona uproszczonym wzorem (1) będzie taka sama, jak sigma wyznaczona wzorem podstawowym (2)? A jeżeli nie, to na czym polegają i kiedy wystąpią różnice?

Aby to wyjaśnić, posłużymy się dwoma przykładami. W pierwszym z nich (nazwijmy go „A”) proces zachowuje się w następujący sposób: produkowane jedna po drugiej sztuki niewiele różnią się od siebie, ale w dłuższej perspektywie czasowej w procesie występują znaczące przesunięcia. Załóżmy, że do wyznaczania współczynników Cp,Cpk pobiera się podgrupy po 5 kolejnych sztuk co 1 godzinę. Kolejne sztuki są produkowane w tempie 1 sztuka co 15 sekund, a więc obejmują krótki odcinek czasu (75 sekund), podczas gdy czas upływający między poszczególnymi podgrupami to w przybliżeniu 3600 sekund. Sytuację obrazuje poniższy rysunek:

RYSUNEK 1: Przykład A - czerwone punkty oznaczają wyniki pomiarów poszczególnych sztuk. Punkty są pogrupowane w kolumnach po 5, co oznacza, że w krótkim okresie czasu wykonano pięć różnych pomiarów. Na rysunku zmienność między podgrupami jest znacznie większa niż zmienność w obrębie podgrup (within).

 

Wróćmy teraz do wzoru (1) i zadajmy sobie pytanie, czy zaobserwowane różnice między grupami (ang. between variability) wpłyną na wyliczoną za jego pomocą wartość sigma? Oczywiście, że nie - w tym wzorze występuje jedynie wartość średniego rozstępu w podgrupach (ang. within variability), który jest stosunkowo mały i wzór (1) jest niewrażliwy na ewentualne różnice w położeniu samych podgrup. 

Żeby to lepiej zrozumieć spójrzmy na kolejny przykład (nazwiemy go B), w którym nie występuje zjawisko „pływania procesu”, a więc poszczególne podgrupy znajdują się na podobnej wysokości wykresu (średnie z podgrup mają podobną wartość).

 

RYSUNEK 2: Przykład B - w tym przypadku zmienność między podgrupami jest bardzo mała w stosunku do zmienności w obrębie podgrup, a więc zmienność całkowita będzie w przybliżeniu równa zmienności wewnątrz podgrup.

 

Zakładając, że średni rozstęp w podgrupach jest taki sam jak w przykładzie A, wartość RBAR będzie w obu przypadkach identyczna, co z kolei da w wyliczeniach taką samą sigmę i w konsekwencji takie same współczynniki Cp i Cpk. A przecież procesy A i B znacząco się różnią! Innymi słowy, współczynniki Cp i Cpk nie uwzględniają zmienności between, a więc nie pokazują globalnej (ang. overall) zmienności procesu.

 

Pp, czyli gdzie jest (P)ies (p)ogrzebany

Zadajmy sobie kolejne pytanie. Co by się stało, gdybyśmy na chwilę zapomnieli o podgrupach i wrzucili wyniki wszystkich pomiarów do jednego worka? Na przykład gdybyśmy potraktowali tak nasz zbiór danych (załóżmy, że ma on 30 podgrup po 5 pomiarów, co daje w sumie 150 indywidualnych odczytów), a następnie obliczyli odchylenie standardowe posługując się wzorem podstawowym:

 

Wzór ten nie będzie „wiedział”, z której podgrupy pochodzą poszczególne wyniki, a więc potraktuje je łącznie i „zauważy” znaczne różnice występujące pomiędzy pomiarami. Krótko mówiąc, wyliczone w ten sposób odchylenie standardowe oprócz zmienności within (obserwowanej w obrębie podgrup) uwzględni w wyliczeniach również zmienność between (występującą między podgrupami). W rezultacie w przykładzie A sigma liczona wzorem uproszczonym (1) będzie znacząco niższa niż sigma liczona wzorem podstawowym (2). 

 

 

RYSUNEK 3 Przykład A - duża liczba punktów z prawej strony wykresu pokazuje, co by się stało, gdyby zrezygnować z podgrup i analizować wszystkie pomiary jako jeden zbiór. 

 

Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla przykładu B. Jednak w tym przypadku, ponieważ nie występuje zmienność między podgrupami, sigma z wzoru (1) będzie zbliżona do sigmy z wzoru (2).

 

RYSUNEK 4: Przykład B - Ponieważ nie występuje zmienność pomiędzy podgrupami, zmienność całkowita (overall) nie będzie się różnić od zmienności w obrębie podgrup (within).

Po tych wyjaśnieniach nadszedł czas na najważniejszą obserwację – sigma wyliczona wzorem (2) jest sigmą, którą stosuje się do wyznaczania współczynników Pp i Ppk.

W powyższych rozważaniach pojawiło się tu wiele interesujących i nowych informacji, spróbujmy podsumować uzyskany scenariusz postępowania: 

1) Z procesu pobieramy po kilka sztuk (w omawianym przykładzie 5) i mierzymy każdą z nich. Uzyskane wyniki tworzą jedną podgrupę. 

2) Co jakiś czas (w przykładzie co 2 godziny) powtarzamy tę czynność, uzyskując w rezultacie n podgrup.

3) Stosując wzór (1) obliczamy odchylenie standardowe dla zebranych danych i na tej podstawie wyznaczamy współczynniki Cp i Cpk.

4) Stosując wzór (2) obliczamy drugie odchylenie standardowe i za jego pomocą wyznaczamy Pp i Ppk.

Jeżeli między uzyskami współczynnikami (Cp-Pp oraz Cpk-Ppk) zaobserwujemy znaczące różnice, oznacza to, że w procesie występuje zmienność typu between. Innymi słowy, występują w nim przyczyny specjalne, które powodują niestabilność średniej procesu. Z drugiej strony, jeżeli współczynniki te są sobie równe (Cp=Pp i odpowiednio Cpk=Ppk), to możemy stwierdzić, że w procesie nie występuje zmienność typu between, a więc jest on stabilny z punktu widzenia jego położenia.

 

Wnioski końcowe

Jakie najważniejsze przesłanie wynika z tych rozważań? Otóż, współczynniki zdolności Cp i Cpk rozpatrywane w oderwaniu od pozostałych dwóch mogą powodować mylną ocenę procesu, zwłaszcza jeżeli zachowuje się on tak, jak opisano to w przykładzie A. W takiej sytuacji może się zdarzyć, że Cp i Cpk będą na wystarczającym poziomie, podczas gdy rzeczywista wydajność procesu (a więc Pp i Ppk) będzie niezadowalająca. Tak więc aby poznać rzeczywistą wydajność procesu, konieczne jest wyznaczenie z tych samych danych jednocześnie współczynników Cp,Cpk oraz Pp,Ppk. Dopiero ta ostatnia para da nam informację o rzeczywistej wydajności procesu (ang. process performance, czyli Pp). 

Z drugiej strony, dzięki wyznaczeniu Cp,Cpk jesteśmy w stanie ocenić potencjał procesu, który jest możliwy do osiągnięcia przy założeniu, że proces zostanie ustabilizowany pod względem położenia (czyli zostanie zredukowana zmienność typu between). Wniosek końcowy jest więc następujący: oceniając zdolność procesu w produkcji seryjnej nie wystarczy wyznaczać współczynników Cp i Cpk, ale koniecznym jest również wyliczanie z tych samych danych współczynników Pp i Ppk, ponieważ dopiero wszystkie cztery dają nam pełny obraz procesu. Analogiczne wnioski, choć wyrażone innymi słowami, przedstawia również podręcznik SPC [1]: Współczynnik Cpk jest przydatny do stwierdzenia, czy proces ma potencjał (ang. is capable) do spełnienia wymagań klienta [...]. Z kolei współczynnik wydajności Ppk (ang. performance) pokazuje, czy proces faktycznie je spełnia.

 

Piotr Stokłosa

pstoklosa@pronost.pl 

 

Bibliografia

[1] Statistica Process Controll, AIAG, 2005